Die Risikoeinschätzung verbessern
Werden im Risk Management der Banken die Unsicherheiten bei der Schätzung von Risikoparametern ausgeblendet, kann dies insbesondere bei Adressrisiko- Portfolien hoher Bonität zu einer erheblichen Unterschätzung des Kapitalbedarfs führen. Für eine konsistente Risiko-Return-Steuerung bietet sich ein Bayes-Ansatz an, der die Schätzunsicherheit berücksichtigt. Der folgende Beitrag zeigt die Umsetzung und die Ergebnisse eines solchen Modells. | Ralf Korn, Nina Fraß, Stephan Vorgrimler, Jan Schnabl
Die Auswirkungen des durch Schätzungen verursachten Risikos sind seit langem bekannt. Ist während der Planung eines Projekts beispielsweise der zu leistende Aufwand als zu gering eingeschätzt worden, kann dies beispielsweise zu Verzögerungen im Projektplan führen und gegebenenfalls Auswirkungen auf den wirtschaftlichen Erfolg des Projekts haben. Um diese Risiken zu minimieren, werden seit Jahren vielfältige Risikomanagementtechniken eingesetzt, um die Projektrisiken zu identifizieren, zu quantifizieren, zu überwachen und zu steuern. Mittlerweise existieren viele standardisierte Schätzverfahren für Projektaufwandschätzungen, die das Ziel haben, eine möglichst zuverlässige robuste Aufwandsschätzung abzugeben und die Schätzfehler zu minimieren (beispielsweise Delphi-Methode).
Die Gefahr der Fehleinschätzung
Schätzrisiken, die Abweichungen des geschätzten Parameters vom nicht beobachtbaren wahren Parameter erfassen, sollten im Risikomanagement von Kreditinstituten ebenfalls nicht außer Acht gelassen werden. Ziel des Risikocontrollings ist es, ein Gesamtrisiko ausweisen zu können, das neben systematischen und unsystematischen, modellimmanenten Risiken auch die Schätz- und Modellrisiken (Metarisiken) umfasst (Gleissner/ Romeike, 2008). Damit wird die Rolle der Schätzrisiken als zusätzlicher Treiber für die unerwarteten Verluste und die Auswirkungen auf die Ermittlung des Risikoprofils anerkannt.
So werden typischerweise zur Quantifizierung des Adressrisikos historische Daten, also zum Beispiel Ausfälle in einer bestimmten Grundgesamtheit, zur Parameterschätzung verwendet, um daraus die Wertausprägungen der Parameter zu ermitteln. Die Ergebnisse dieser Schätzmodelle unterliegen Schätzfehlern, die auf der Abweichung der beobachteten Parameter von den „wahren“ Werten beruhen.
Auf der einen Seite kann das Risiko auftreten, dass aufgrund einer zu kurzen historischen Verfügbarkeit der Daten unbewusst nur wenige Ausfälle beobachtet wurden und damit eine im Vergleich zur „wahren“ zu niedrigere Ausfallwahrscheinlichkeit geschätzt wurde. Dies führt zu einer Unterschätzung des Adressrisikos. Auf der anderen Seite kann auch zufälligerweise die gegenteilige Situation eintreten. Es wurden mehr Ausfälle beobachtet und daraus eine vergleichsweise zu hohe Ausfallwahrscheinlichkeit bestimmt als dies gerechtfertigt wäre. Diese Konstellation führt wiederum zu einer Risikoüberschätzung.
Schätzunsicherheiten sind damit jeder Parameterschätzung immanent – unabhängig von der Verwendung der Parameter für interne Risikomodelle oder für die aufsichtsrechtliche Eigenkapitalunterlegung. In den klassischen Kreditportoliomodellen wie CreditMetrics®, Credit- Risk+® oder CPV® wird diese Risikoart jedoch nicht abgebildet. Ihre Ergebnisse sind aus der Sicht der Schätzunsicherheit also kritisch zu hinterfragen.
Die Vorgaben der Solvabilitätsverordnung für die Parameterschätzung im Rahmen des IRB-Ansatzes verlangen bereits die Berücksichtigung von Schätzunsicherheiten. Neben dem Risiko eines konjunkturellen Abschwungs (Downturnrisiko) sollen IRBA-Institute ebenfalls in den Parameterschätzungen Risiken durch Schätzunsicherheiten eine Sicherheitsspanne abbilden, die „in Beziehung zum erwarteten Bereich für den Schätzfehler steht“ (§ 118f., § 128 Abs. 6 SolvV). Die dritte Risikoquelle der in der Parameterschätzung enthaltenen Modellrisiken soll in qualitativer Weise, das heißt außerhalb des Risikomodells, beurteilt werden (§ 119 Abs. 4 SolvV).
Im Folgenden werden zwei Ansätze vorgestellt, die eine Abbildung von Schätzrisiken ermöglichen: der Konfidenzintervallansatz und der Bayes-Ansatz. Hierbei wird zur Veranschaulichung der Ansätze auf die Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit (PD) fokussiert. Die gleiche Methodik ist mittels leichter Adjustierung ebenfalls auf andere Kreditrisikoparameter übertragbar. Die Ergebnisse beider Ansätze werden mit der naiven Vorgehensweise ohne Berücksichtigung von Schätzrisiken verglichen.
Der Konfidenzintervallansatz
Üblicherweise ist das Ergebnis einer Parameterschätzung eine Punktprognose. Als einfaches Beispiel wird eine einjährige Datenhistorie von 100 Kreditnehmern in einer Ratingklasse X betrachtet. Bezogen auf diese Grundgesamtheit wird innerhalb eines Jahres ein ausgefallener Kreditnehmer beobachtet. Daraus lässt sich eine Ausfallrate respektive PD von 1 % ableiten, die im Risikomodell als gesichert unterstellt wird. Jedoch ist offensichtlich, dass auch niedrigere und höhere Werte für die PD auf Basis dieser Beobachtung nicht ausgeschlossen werden können.
Würde die Datenhistorie beispielsweise aufgrund der früheren Einführung einer Ausfall- und Verlustdatenbank noch das Jahr zuvor abdecken können, so könnte man eventuell in jenem Jahr keine Ausfälle beobachten. Die ermittelte Ausfallwahrscheinlichkeit würde sich ceteris paribus in diesem Fall auf 0,5 % halbieren. Oder bei einer anderen Realisation in jenem Jahr hätten ebenfalls zwei Ausfälle beobachtet werden können – verbunden mit einer Kalibrierung auf eine PD von 1,5 %. Damit wird klar, dass eine Vorgehensweise, die den Wert von 1 % als sicher unterstellt, das Risiko deutlich unterschätzt. Vielmehr kann eine gewisse Bandbreite des Parameters nicht als „unzulässig“ ausgeschlossen werden.
Eine solche Bandbreite ist ebenfalls in formalisierter Form darstellbar. In der klassischen Statistik existieren Methoden, mit denen unter Angabe eines Konfidenzniveaus angegeben werden kann, in welcher Bandbreite eine Schwankung der Ausfallwahrscheinlichkeit zu erwarten ist. Diese Bandbreite wird durch eine obere und untere Schranke eindeutig beschrieben.
Die Grenzwerte wiederum hängen zum einen von den in der Schätzung verwendeten Daten ab. Dazu zählen in erster Linie die Anzahl der beobachteten Ausfälle und die der Schätzung zugrunde gelegte Kohorte (Grundgesamtheit). Diese Daten sind in einer Schätzung nicht veränderbare Größen. Zum anderen kommt dem Konfidenzniveau, der zweiten Einflussgröße, eine zentrale Bedeutung zu, da ihre Variation ebenfalls zu Bandbreitenveränderungen führt. Als Faustregel gilt: Je höher das Konfidenzniveau bzw. je kleiner die Grundgesamtheit bei unveränderter Ausfallrate ist, desto breiter wird das betrachtete Konfidenzband.
Je nach Modellvariante und Verteilungsannahmen existieren unterschiedliche Typen von Konfidenzintervallen. Standardmäßig wird das auf einer asymptotischen Normalverteilung basierende Wald-Intervall eingesetzt, wobei eine möglichst lange Datenhistorie vorausgesetzt wird, um die Approximation zu rechtfertigen. Wird hingegen auf diese Bedingung verzichtet, kann alternativ auf die „exakte“ Methodik der Clopper-Pearson-Konfidenzintervalle zurückgegriffen oder darüber hinaus können weitere Methoden (Agresti-Coull- oder Jeffrey-Intervalle) angewendet werden (Dannenberg, 2009).
Im oben genannten Beispiel bei einer Ausfallwahrscheinlichkeit von 1 % und einem gewählten Konfidenzniveau von 95 % liegt die obere Konfidenzschranke des Wald-Intervalls bei 2,63 %. Anders ausgedrückt kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % unterstellt werden, dass die „wahre“ Ausfallwahrscheinlichkeit nicht 2,63 % überschreiten wird.
Um eine Unterschätzung des Parameters zu vermeiden, wird häufig empfohlen, anstelle des Mittelwerts den oberen Grenzwert dieser berechneten Bandbreite zu einem zuvor definierten Konfidenzniveau als Punktprognose zu verwenden und somit ein Add-on auf den bisherigen Wert anzuwenden. Für das Beispiel würde in der Ratingklasse X anstelle der Punktprognose für die Ausfallwahrscheinlichkeit von 1 % ein Prognosewert von 2,63 % für die Adressrisikomessung verwendet.
Wie das Beispiel zeigt, besteht die durch das Modell ausgewiesene Schätzunsicherheit in verstärktem Maße bei der Kalibrierung derjenigen Ratingklassen, denen nur wenige Kreditnehmer zugeordnet wurden und die damit folglich eine geringe Grundgesamtheit aufweisen. Dies trifft insbesondere auf Ratingklassen hoher Bonität oder auf Ratingsysteme mit tendenziell wenigen Kreditnehmern (beispielsweise Ratingsysteme für Zentralregierungen oder Ratingsysteme für Firmenkunden) zu.
Zur Veranschaulichung des Effektes wird eine Ratingklasse Y eines anderen Ratingsystems betrachtet, für die in der Vergangenheit 5.000 zu Betrachtungsbeginn nicht-ausgefallene Kreditnehmer in der Kohorte zur Verfügung standen. Innerhalb eines Jahres konnten 50 Ausfälle beobachtet werden. Die Ausfallrate, die bei naiver Schätzung mit der Ausfallwahrscheinlichkeit gleichgesetzt wird, beträgt 1 %.
Der Bayes-Ansatz
Die Analyse von Ausfallwahrscheinlichkeiten hängt für gewöhnlich stark von beobachteten Daten ab. Spärliche Beobachtungen führen zu hohen Standardabweichungen und damit zu sehr unsicheren Schätzungen. Dennoch werden üblicherweise diese Unsicherheiten ignoriert und Punktschätzer gebildet, die den Ausfallwahrscheinlichkeiten ein trügerisches Bild von Sicherheit verleihen. Im Bayes- Ansatz werden alternativ Ausfallwahrscheinlichkeiten als stochastische Größen aufgefasst. So liegt es nahe, Ausfallwahrscheinlichkeiten nicht mehr als Punktschätzer, sondern als Realisierung einer Zufallsvariablen zu betrachten.
Um das Expertenwissen zu integrieren, existieren zwei Berücksichtigungsmöglichkeiten. Wenn eine Vorinformation durch vorliegende Verteilungen oder Stichproben vorhergehender Analysen existieren, so kann dies in Annahmen über die Verteilung des Parameters übersetzt werden. Um jedoch eine objektive Darstellung verschiedener subjektiver Eindrücke zu erhalten, ist es an dieser Stelle sinnvoll, ein möglichst hohes Maß an Unsicherheit zu wählen, indem man beispielsweise unterstellt, dass alle möglichen Ausfallwahrscheinlichkeiten zwischen 0 % und 100 % als gleich wahrscheinlich angenommen werden (nichtinformative A-priori-Verteilungen).
In der als Expertenwissen ausgedrückten Form der A-priori-Verteilung begründet sich die Verteilung der Ausfallwahrscheinlichkeit nicht in der Empirie. Deshalb wird diese Verteilung mit historischen Beobachtungen angereichert und somit aktualisiert. Zudem wird mit dem Bayes-Ansatz in Abhängigkeit von der Fülle der vorliegenden Datenbasis eine Gewichtung des Expertenwissens durchgeführt. Je umfangreicher die Datenbasis ist, umso geringer ist der Einfluss des Expertenwissens auf die erzeugte Verteilung.
In der gängigsten Ausprägung des Bayes-Ansatzes wird für die A-priori-Verteilung eine Betaverteilung über die Ausfallwahrscheinlichkeit und für die beobachtete Größe der Ausfallrate eine Binomialverteilung unterstellt (Beta-Binomial- Modell). Dies bewirkt, dass die A-posteriori- Verteilung ebenfalls in analytischer Weise, nämlich in Form einer Betaverteilung, ausgedrückt werden kann.
Somit ist der Bayes-Ansatz auf einfache Weise anwendbar, und die Stochastik der Ausfallwahrscheinlichkeit wird durch die Verteilung beibehalten. Der Bayes-Ansatz ist jedoch nicht nur auf diese Verteilungen beschränkt und kann in Abhängigkeit von den Erfordernissen und Charakteristika des betrachteten Parameters angepasst werden (Gössl, 2005).
Im Vergleich dazu ist ebenfalls die Punktprognose (grau) eingezeichnet. Der Wertebereich der A-posteriori-Verteilung befindet sich im nicht-negativen Bereich. Diese Eigenschaft ist aus ökonomischer Interpretationssicht wünschenswert, da keine negativen Ausfallwahrscheinlichkeiten möglich sind. Der Erwartungswert der Verteilung liegt bei einem Wert von 1,01 %. Die Abbildung zeigt ferner, dass auch Abweichungen von der Erwartung auftreten können. Je weiter man sich vom Erwartungswert in eine Richtung bewegt, desto niedriger wird die Eintrittswahrscheinlicheit der PD. Im Vergleich zur Punktprognose bzw. des Konfidenzintervallansatzes, bei der die PD deterministisch ist, kann die PD im Bayes-Ansatz über eine Verteilung mit vielen Wertausprägungen dargestellt werden.
In den bekannten Kreditportfoliomodellen wird hingegen stets von der zuvor dargestellten Idee der Punktprognose bei den Ausfallwahrscheinlichkeiten ausgegangen. Die Integration des Bayes-Ansatzes in die Risikomessung ist jedoch durch eine Erweiterung von CreditMetrics® möglich, indem ein Sampling auf der A-posteriori- Verteilung durchgeführt wird. Durch diese Vorgehensweise werden Schätzunsicherheiten geeignet berücksichtigt.2
Vergleich des Konfidenzintervall- und Bayes-Ansatzes
Auf den ersten Blick bietet der Konfidenzintervallansatz gewisse Vorteile: Er ist einfach durchführbar und eine Integration des Konfidenzintervallansatzes in die Risikomessung ist ohne Modellerweiterungen möglich. Es bedarf lediglich einer Anpassung der Werte für die Risikoparameter PD, LGD und CCF. Gleichzeitig werden die beobachtbaren Informationen (Ausfälle und Grundgesamtheit) verwendet – wie im Bayes-Ansatz.
Jedoch überwiegt in der Risikomessung ein Nachteil. Durch die fixe Erhöhung der naiven Prognose wird eine zu niedrige Performance im Sinne des Erwarteten Profit/ Losses bzw. des Erwarteten Verlusts ausgewiesen. Somit können basierend auf dieser Vorgehensweise gravierende Fehlsteuerungsimpulse in der Risikosteuerung und der Asset Allocation eintreten. Im Konfidenzintervallansatz besitzt der freie Parameter des Konidenzniveaus eine hohe Anschaulichkeit, deren Festlegung insbesondere von der Risiko- und Geschäftsstrategie jedes Kreditinstituts abhängt und die Konservativität beschreibt.
Der grundlegende Unterschied zwischen dem Bayes-Verfahren und der klassischen Sichtweise wird offensichtlich: Anstatt eine Punktprognose zu verwenden, wird mittels Bayes’scher Statistik eine Verteilung generiert, die mögliche Schwankungen der Ausfallwahrscheinlichkeit für plausibel hält. Die Unsicherheit drückt sich in diesem Ansatz durch eine Abweichung, also Erhöhung oder Verringerung der Ausfallwahrscheinlichkeit gegenüber dem Erwartungswert aus.
Im Konfidenzintervallansatz wird das Risiko durch eine konservative, statische Erhöhung des naiven Schätzwerts abgebildet. Die Verteilung kennt nur die „Punkte“ des Mittelwerts und der Quantile. Somit wird durch den Bayes-Ansatz ein neues Herangehen an die Parameterschätzung ermöglicht, das der Abbildung von Schätzunsicherheiten auf eine neue Entwicklungsstufe verhilft.
Auswirkungen auf die Kreditrisikomessung
Beide vorgestellten Ansätze werden in einem realitätsnahen Kreditportfolio näher untersucht, um die Auswirkungen von Schätzunsicherheiten auf die Risikoprofile darstellen zu können. Das Kreditportfolio setzt sich aus 85 verschiedenen Finanzinstrumenten mit einem Volumen in Höhe von 4 Mrd € zusammen. Die Bonitäts- und Risikoeinstufung jedes Kreditnehmers erfolgt mittels der S&P-Ratingskala.
Die vorliegende Datenbasis für die naive Punktprognoseschätzung und den Bayes-Ansatz stellen die beobachteten Ausfälle und die Grundgesamtheit von weltweiten Unternehmen dar, die aus den Jahren 1981 bis 2008 stammen. Um stabile Risikomessergebnisse zu erhalten und ihre Vergleichbarkeit zu ermöglichen, wurden im Ausfallmodell CreditMetrics 3 Mio Simulationsszenarien verwendet. Das Risiko wird anhand des sich immer stärker durchsetzenden Risikomaßes des Conditional Value at Risk (CondVaR) dargestellt.
Betrachtet man den Konfidenzintervallansatz, so sind die deutlich verringerten Performance- und erhöhten Risikokennzahlen zu erkennen. Die Erhöhung von der ursprünglich geschätzten naiven zur adjustierten konservativen Ausfallwahrscheinlichkeit schlägt sich in gleicher Höhe im erwarteten Verlust nieder. Am Beispiel verdeutlicht bedeutet dies: Die im Vergleich zur naiven Schätzung bei einem Standardkonfidenzniveau von 95 % um 65 % erhöhte konservative PD bewirkt eine Erhöhung des erwarteten Verlusts um ebenfalls 65 % bzw. ca. 600.000 €. Gleichzeitig erhöht sich der 99,9-Prozent-Cond- VaR um 18 Mio € (28 %).
Wird der Bayes-Ansatz angewendet, so kann im Vergleich zum Konfidenzintervallansatz eine geringere Erhöhung der Risikokennzahlen beobachtet werden und beträgt beim 99,9-Prozent-CondVaR ungefähr 12 Mio € (19 %). Der erwartete Verlust wird im Bayes-Ansatz relativ zum Best-Practice-Verfahren um ca. 300.000 € niedriger ausgewiesen. Durch dieses Beispiel wird transparent, dass der Konfidenzintervallansatz eine deutlich zu konservative Risiko- und Returnabschätzung angibt und für die Abbildung von Schätzrisiken nur unzureichend geeignet ist. Der Bayes-Ansatz vereint die Vorteile von methodischer Korrektheit mit der praktischen Umsetzbarkeit, so dass dieser Ansatz auch hinsichtlich der Risk-Return-Steuerung den geeigneten Ansatz zur Abbildung von Schätzrisiken darstellt.
Fazit
Insgesamt bleibt festzuhalten, dass eine Nichtberücksichtigung von Schätzunsicherheiten zu einer Unterschätzung des ökonomischen Kapitals und damit zu einer Fehleinschätzung in der Beurteilung der Risikotragfähigkeit eines Kreditinstituts führt. Die Berücksichtigung von Schätzunsicherheiten bewirkt breitere Verlustverteilungen und einen Anstieg der Risikokennzahlen. Mittels des Konfidenzintervallansatzes und des Bayes-Ansatzes können Schätzunsicherheiten abgebildet und in die Risikomessung integriert werden. Der Bayes-Ansatz stellt den zu präferierenden Abbildungsansatz dar, da keine pauschale Erhöhung der Parameter vorgenommen wird. Jedoch kann in Einzelfällen der Konfidenzintervallansatz eine alternative Abbildungsmöglichkeit darstellen.
Gleissner, W.; Romeike, F. (2008): Analyse der Subprime-Krise – Risikoblindheit und Methodikschwächen; Risikomanager 21/2008, S. 8-12.
Lawrenz, J. (2008): Assessing the Estimation Uncertainty of Default Probabilities.
Dannenberg (2009): Berücksichtigung von Schätzunsicherheit bei der Kreditrisikobewertung - Vergleich des Value at Risk der Verlustverteilung des Kreditrisikos bei Verwendung von Bootstrapping und einem asymptotischen Ansatz.
Tarashev, N. (2009): Measuring Portfolio Credit Risk correctly - Why Parameter Uncertainty matters, BIS Working Papers Nr. 280.
Gössl, C. (2005): Predictions based on certain uncertainties - a Bayesian credit portfolio approach.
2 Als alternative Herangehensweise bietet sich das Quantil der A-posteriori-Verteilung zum selben Konfidenzniveau wie im Konfidenzintervallansatz an. Diese Vorgehensweise wurde zur transparenteren Vergleichsdarstellung im weiteren Verlauf des Artikels nicht weiter verfolgt.
